Теория вероятностей и математическая статистика

Бакалавриат (Системы автоматизированного проектирования)

Преподаватели:

• Лекции: Берчун Юрий Валерьевич
• Семинары: Рабкин Дмитрий Леонидович

Описание

Цель изучения дисциплины - освоение общих принципов применения вероятностных и статистических методов, построения и исследования вероятностных моделей в науке и технике, освоение методов обработки статистической информации, приобретение навыков решения прикладных задач предметной области с использованием методов теории вероятностей и математической статистики.

Общий объем дисциплины составляет 5 зачетных единиц (з.е.), 180 академических часов (135 астрономических часов).

План занятий

Модуль 1 Случайные события.

• Лекция 1 Понятие случайного события. Пространства элементарных событий. Случайные события и действия над ними. Диаграммы Венна.
• Лекция 2. Алгебра событий, совместные и несовместные события. Вероятностное пространство. Аксиоматическое определение вероятности, следствия аксиом (свойства вероятностей).
• Лекция 3. Классическое определение вероятности в пространстве элементарных равновозможных исходов. Геометрическое определение вероятности. Задача о встрече.
• Лекция 4. Формула вероятности суммы двух или нескольких событий (совместных и несовместных). Условная вероятность. Независимость событий попарно и в совокупности. Формула вероятности произведения нескольких событий (зависимых и независимых).
• Лекция 5 Вероятность суммы нескольких совместных независимых событий. Формула полной вероятности и теорема Байеса.
• Лекция 6. Схема повторных испытаний с возвращением (схема Бернулли). Формула Бернулли. Схема повторных испытаний без возвращений (гипергеометрическая схема).
• Лекция 7. Понятие случайной величины. Функция распределения случайной величины, её свойства. Дискретная случайная величина, её ряд распределения. Непрерывная случайная величина, её функция распределения и плотность вероятности, их свойства.
• Лекция 8. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин. Начальные и центральные моменты дискретных и непрерывных распределений. Понятия математического ожидания и дисперсии случайной величины, их свойства.

Модуль 2. Случайные величины.

• Лекция 1. Детерминированные функции случайных величин. Их функции распределения и функции плотности распределения. Расчёт числовых характеристик.
• Лекция 2. Распределения случайных векторов. Дискретные и непрерывные случайные векторы. Ковариация и коэффициент корреляции, их свойства. Свойства математического ожидания и дисперсии линейной комбинации независимых и коррелированных случайных величин.
• Лекция 3. Условные распределения случайных величин. Независимость случайных величин. Условные математические ожидания. Линейная регрессия.
• Лекция 4. Схема Бернулли и аппроксимация вероятности предельными теоремами. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Функция Гаусса и её свойства.
• Лекция 5. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Функция Лапласа и её свойства. Типовые постановки задач, сводящиеся к применению интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
• Лекция 6. Схема Бернулли и аппроксимация вероятности предельной теоремой Пуассона. Распределение Пуассона и экспоненциальное распределение. Понятие простейшего потока событий.
• Лекция 7. Теория массового обслуживания (ТМО) как раздел теории вероятностей и математической статистики. Аналитические модели систем массового обслуживания (СМО) как разновидности цепей Маркова. Основные допущения аналитических моделей СМО. Вывод уравнений Колмогорова. Применение уравнений Колмогорова для исследования одноканальной СМО с отказами. Понятия абсолютной и относительной пропускных способностей.

Модуль 3. Прикладные задачи теории вероятностей.

• Лекция 1. Процесс гибели и размножения – вывод соотношений для вероятностей. СМО с очередями. Признаки классификации СМО и особенности построения их аналитических моделей. Использование математических приёмов сведения сумм слагаемых к суммам геометрических прогрессий. Расчёт вероятностных и количественных характеристик работы исследуемой системы.
• Лекция 2. Расчёт временных характеристик работы исследуемой системы. Формула Литтла. Особенности построения моделей СМО с неограниченной очередью с ограниченным временем ожидания. Особенности построения моделей СМО замкнутого типа. Классификация СМО по Кендаллу.
• Лекция 3. Показатели безотказности и долговечности. Модели надёжности невосстанавливаемых систем. Надёжность сложной системы. Мера сложности. Структурно-логическая схема объекта и её использование для определения показателей надёжности объекта. Оценка показателей надёжности простейших структурно-логических схем.
• Лекция 4. Понятие о восстанавливаемом объекте. Поток отказов. Интенсивности отказов и восстановления. Совокупные показатели надёжности объекта. Связь коэффициента готовности с суммарной плотностью вероятности отказов. Уравнение параметра потока отказов. Закон надёжности восстанавливаемых объектов. Зависимость вероятности безотказной работы восстанавливаемого объекта от времени и коэффициента готовности.
• Лекция 5. Классификация генераторов случайных чисел. Показатели качества генераторов. Моделирование случайных величин методом обратной функции. Метод Монте-Карло.
• Лекция 6. Использование метода имитационного моделирования для решения задач анализа СМО и надёжности систем. Алгоритм дискретнособытийного продвижения модельного времени. Цепи текущих и будущих событий. Фазы просмотра и коррекции таймера.